極限の計算のコツ

ルベーグ積分理論と計算手法P152　あたりで、ちょっとした極限の計算が分からない。最近は、どうにも解決できそうにないときChatGPTに聞くことにしている。

　1<α<3   lim x→0   (sinyx-yx/(1+x^2))/αｘ^α　が、さらっと０になることが書いてあるが、理由がわからなかった。

　こういうときは、いろいろ展開を使うといいらしい。

　　　sin yx = sin0 +yx*cos0 -(yx)^2*sin0/2! -(yx)^3*cos0/3!.....

        =yx-(yx)^3/6   ①

       1/(1+x^2)=1+(-x^2)+(-x^2)^2+(-x^2)^3+.....

        なので  yx/(1+x^2)=yx(1-x^2+x^4...)=yx-yx^3+yx^5.....  ②

　　　与式=(①-②)/αx^α=(y-y^3/6)x^3... /αx^α だが

　　　　　α<3より  3-α>0　で x→0なら　　確かに　x^(3-α)　→　0がいえるようだ。（最初、ChatGPTも途中の計算間違っていたので、再度、確認したら正しい説明をしてくれた。やはり、ChatGPTにとっても少し難しくなるとミスもしやすくなるんだろうか？）

　学生時代にこういった勉強も多少はやったはずだけど、ほとんど記憶に残っていない、やはり使わないと忘れてしまうようです。