分離と微分が０の関係

 f(x)∈F[x] F 上既約 f(x)が分離 ⇔ f’(x)≠０

証明は　f(x)が非分離 ⇔ f'(x)=0 をいってもよい。　※１
YoutubeのAkito氏の証明が参考になった。

→の証明 f(x)＝(x-α)^2・g(x) （∃α∈E）
 α∈F の F 上最小多項式を p(x)とすると
先の prop より f(α)=0、f’(α)＝０
 よって p(x)｜f(x) 、 p(x)｜f’(x)
これより f’(x)≠０と仮定すると
Deg p(x)≦deg f’(x) ＜def f(x)
つまり deg p(x) ＜ deg f(x)
 よって f(x)=p(x)q(x)とかくと　※２
 Deg p>0 degｑ＞０

→ f(x)：F 上既約に矛盾（一次以上の積だから　※２）

←の証明
α∈E f(x)の根をとる
 f(α)=0 f’（α）＝０（f’(x)=0 だから　※１）
 よって αは f(x)の重根