ルベーグ積分 要点と復習 問1.26

f＝Σaj１Ej　（１．５）
問1.26　①{Ej}が互いに素ならば　(1.5)のようにあらわされる関数ｆの地域は高々可算であることを示せ。また、②｛Ej}が互いに素でないならば、値域は一般には、非可算であることを例によって示せ。
（∵）
①：｛Ej}が互いに素とすると、　X∖　UjEj≠０ならば　これを付けくわえることで　　UjEj=Xとしてよい。　このとき　∀ｘ∈Xは　ちょうど　１つのEjに入るから
　　ｆの値域は　｛aｊ｝
②：｛Ej}が互いに素でないとき　（１．５）のｆの地域が非可算になる例
　区間I＝[0,1)　上の関数　ｆ（ｘ）＝ｘ　の値域はIであり　非可算
　　f(x)（=ｘ）∈Iの２進展開は
　　　　　f(x)＝Σ（1/2）^j・αj(x)　＝Σ(1/2)^j・１Ej(x)　
　ただし、　αj(x)は０または１であり　それによって　f(x)は　[0,1)の中のいずれかの値をとる。
　　イメージとしては
　　　ｘα＝　(1/2)^1・０＋(1/2)^2・１＋(1/2)^3・１＋....＋(1/2)^ｎ・０　だとすると、　Ej＝｛ｘ∈I：αj(x)=1}　と表せるが　上の例では　E2でも、E3でもｘαが該当