ルベーグ積分 要点と復習 問1.10

可測空間（X,Bx)から可測空間（Y,By)への写像ｆがある。次の２条件は同値であることを示せ。
（ⅰ）引き戻しf-1（By)はBxに含まれる
（ⅱ）押し出しｆ（Bx)はByを含む

（∵）　(ⅰ)は    f-1(By)=｛f-1(F):F∈By} ⊂　Bx
　　　　　　包含関係から
　　　　　　∀f-1(F)∈f-1(By)ならば　f-1(F)∈Bx　　 ①
　　　　　　　f-1(F)∈f-1(By)　⇔ F∈By　なので
　　　　　　①は　F∈Byならば　f-1(F)∈Bx　（②）　と同値
　　　　　　　f-1(F)∈Bx　⇔　F∈f(Bx)　なので
　　　　　　②は　F∈Byならば　F∈f(Bx)　(③）　と同値
　　　　　　③より包含関係は　f(Bx)={F⊂Y：f-1(F)∈Bx｝⊃By