P117 ｐ素数 Φp^n(x)=Φp(x^(p^(n-1)))が既約であることを示す問題の途中の変形がしばらくわからず悩む。
Φp(x^(p-1)+(pでわりきれる項）＋１）＝{x^(p^(n-1))＋（ｐでわりきれる項)}^(p-1)＋（ｐで割り切れる項）＋ｐとなる理由
∵前問で①Φp(x+1)=((x+1)^p-1)/((x+1)-1)=x^(p-1)+Σk=1~(p-2) pCk x^(p-k-1)+p が言えていたので、これを使うとよいことにきづく。今の場合、X＝x^(p-1)+(pでわりきれる項） としてこれを①のxをXで置き換えるとうまくいくようです。
前問をつかっているということに、きづかなかったためしばらく悩みました。よく読むと問題にも（１）と同様にして解く と書いてあるのを見逃していました。
途中の式変形で、すこし手こずる。x^(q^n)-α^(q^n)-(x-α)を(x-α）で割ってから、x=αを代入した式がq^n*α^(q^n-1)-1となることを示したい。ChatGPTにすぐ頼ってしまったが、いまいちすっきりしない。
与式をf(x)とすると f(x)=(x-α)h(x)とみなし h(x)=f(x)/(x-α)だから、h(x)=f'(x)とみなせるからという説明だった。たしかに、x→αでは、解析的には微分だが、、、、(自分には高度すぎる？）。
と、少し間をおいてあらためて考えると 単純に式の割り算をすると、
Σ i=0~q^(n-1) α^i*x^(q^n-i-1) -1 となることに気づく。これにx=αを入れると、結論が言えるようだ。自分としては、こちらのほうが納得できる。
Haskell入門 を久しぶりに読み直してみた。P168にMaybeモナドについて少し復習してみた。
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補題9.13(2)でまた、つまづいてしまった。仕方なく、だめもとでChatGPTに頼ってみたら、きちんと回答してくれた。AIの力も凄いものだと驚きました。ここ何か月間の間にパワーアップした？
質問は 「ルベーグファトウの定理を使い、∫A max k≦n fk μ ≦ ν(A) から ∫ sup n∈N fn μ ≦ ν(A)をいえますか？」としました。 回答に少し補足を入れてまとめてみた。
∵） gm=max k≦n fk （これは増加列 ①）として 定理を適用すると
∫A lim inf n→∞ gn μ ≦ lim inf n→∞ ∫A gn μ
左辺は ∫A sup n∈N fn μ ② ↓ここで①を使う
また sup n∈N inf k≧n gn = lim n→∞ inf gn=lim n→∞ gn =sup n∈N fn これが②の理由
∫A gn μ ≦ ν(A) で n→∞ ならば lim inf n→∞ ∫A gn μ≦ ν(A)
ゆえに 結論 ∫A sup n∈N fn μ ≦ ν(A)
定理に必要な優関数がないので、質問したら、優関数はf1(x)という回答。専任の家庭教師がついているような感覚になる。
ルベーグ積分 理論と計算手法 P183 例8.9(1)で、
log(1-z)を微分し -1/(1-z) = Σz^n なので
積分して log(1-z)=-∫Σz^n dz =-Σ∫z^n dz = - Σ z^(n+1)/(n+z)
= - Σ z^n/n (Σが n=0からとなっていたのをn=1からとすることで変形）
これを使うと
Im(log(1-e^ix))=-ΣIm(e^ixk)/k = -Σ sin kx /k
これは arg(1-e^ix)=-(π-x)/2 (0<x<2π) でもある
∵）log(re^ix)=logr+log(e^ix)=logr+ix
∵) 1-e^ix=(1-cosx)-isinx r=√((1-cosx)^2+sin^2x =2sin(x/2)
-sinx / 2sin(x/2)=sinΘ なら Θ=-(π-x)/2になる。
∵） 2sin(x/2)sin((π-x)/2) = sinx このへんは地道に三角関数の計算を確認すると
確かにそうなる。それにしても計算が大変だった。
フーリエ級数使うともう少し楽に計算する方法もありそうなので、そちらも試してみたい。
追記(2/22)：その後、ディリクレージョルダンの定理(P182)を使うと、計算できることが確認できた。
f(x)=-x/(2π)+1/2*sgn(x) として bk=1/kとできるので、これを定理に適用するといいようだ。最初うまくいかなかったのは、ちょっとした計算ミスのためだった。だいぶ遠回りしてしまった。
ついでに、(2)も解いていみた。
x∈(-2π,2π)を x'=x/2∈(-π,π)とすると 2Σsin2kx'/2k=Σsin2kx'/k=-x'+π/2*sgnx'
（１）より 2(-x/2+π/2*sgnx)=2Σsinkx/k=2( Σsink2x/2k + Σsin(2k-1)x/(2k-1) )
=-x+π/2*sgnx + 2*(求めたい式）となるが、これを整理すると
求めたい式＝ Σsin(2k-1)x/(2k-1)=π/4*sgnxとなる。
peanutでは、PCでCW交信ができるようになっているが、そのための発振器を作ってみた。最初、２SC1815と２SA1015を組み合わせた簡易的なものを試したが、周波数がうまく変えられなかったので、ツインT型を試したらうまくいった。入力はUSBへの変換アダプタを使うことにしている。
