Σsinkx/k の求め方で苦戦

 ルベーグ積分　理論と計算手法　P183　例8.9(1)で、

∞
Σsinkx/k=(π-x)/2  (2π>x>0)になる理由がわからず、苦戦。

log(1-z)を微分し　-1/(1-z) = Σz^n　なので

積分して　　log(1-z)=-∫Σz^n dz =-Σ∫z^n dz  = - Σ z^(n+1)/(n+z) 

 = - Σ z^n/n  (Σが n=0からとなっていたのをn=1からとすることで変形）

これを使うと

Im(log(1-e^ix))=-ΣIm(e^ixk)/k   = -Σ sin kx /k

これは arg(1-e^ix)=-(π-x)/2　(0<x<2π)　でもある

∵）log(re^ix)=logr+log(e^ix)=logr+ix

∵) 1-e^ix=(1-cosx)-isinx      r=√((1-cosx)^2+sin^2x =2sin(x/2)

 -sinx / 2sin(x/2)=sinΘ　なら　Θ=-(π-x)/2になる。

∵） 2sin(x/2)sin((π-x)/2) = sinx  このへんは地道に三角関数の計算を確認すると

　　確かにそうなる。それにしても計算が大変だった。

フーリエ級数使うともう少し楽に計算する方法もありそうなので、そちらも試してみたい。

追記(2/22)：その後、ディリクレージョルダンの定理(P182)を使うと、計算できることが確認できた。

f(x)=-x/(2π)+1/2*sgn(x)　として bk=1/kとできるので、これを定理に適用するといいようだ。最初うまくいかなかったのは、ちょっとした計算ミスのためだった。だいぶ遠回りしてしまった。

ついでに、(2)も解いていみた。

x∈(-2π,2π)を　x'=x/2∈(-π,π)とすると　　2Σsin2kx'/2k=Σsin2kx'/k=-x'+π/2*sgnx'

（１）より 2(-x/2+π/2*sgnx)=2Σsinkx/k=2( Σsink2x/2k   + Σsin(2k-1)x/(2k-1) )

=-x+π/2*sgnx  + 2*(求めたい式）となるが、これを整理すると

　求めたい式＝ Σsin(2k-1)x/(2k-1)=π/4*sgnxとなる。