ルベーグ積分超入門 P９

有限次元の線形空間では二つのノルム||・||１と||・||２があるとき、ある定数C＞０が存在して
　　　１／C||x||1≦||x||２≦C||x||１
をみたすことを示せ。

解答では　右辺を示している。超入門というタイトルだが、自分にとっては難しい。

e1、,,enを基底とする。独立性から
　δ＝  inf        ||c1e1+.......+cnen||1
         Σ|ci|=1
とおくと、δ＞０である。　
　　（∵独立性から　δ=0なら∀iについてci=0　 、対偶を考えると　Σ|ci|が０でないから
　　　∃ciが０でない。よってδ＞０）
任意のｘについて　ｘ＝Σaieiと表せるので

||x||２＝||Σaiei||2
≦max||ei||2×Σ|ai|　　
　（∵　ノルムの定義より、三角不等式　||c1e1+c2e2＋...||<=||c1e1||+||c2e2||＋....
　　　=|c1|||e1||+|c2|||e2||...さらにeｉのmaxをすべての項かける）
＝max||ei||2×Σ|ai|×inf　||Σciei||１×１/δ　　（？解答は≦となっていたが、＝のように思えるが）
　　　　　　　　　　　　Σ|ci|=1
≦max||ei||2×１／δ×||x||1
　 (∵　Σ|ai|×inf　||Σciei||　＝　inf　||ΣAciei||　　ここでΣ|ai|＝Aとおいた。
　　　　　　　　Σ|ci|=1　　　　　Σ|ci|=1
　　　　　＝inf　||ΣAciei||
　　　　　　Σ｜Aci|＝A　（∵　A×Σ|ci|=A×１　）
　　　　　　ここで、AciをXiとおくと
　　　　　＝inf　||ΣXiei||
　　　　　　Σ|Xｉ|＝A　　　　　A＝Σ|ai|だから
　　　　　＝inf　|Σ|Xiei||
　　　　　　Σ|Xi|＝Σ|ai|　
　　　　　　　　　　　Xi=aiのときは、　||ΣXiei||　　を満たすが、　この式の下限とは限らない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Σ|Xi|＝Σ|ai|　
　　　　　　したがって、
　　　　　≦||Σaiei||＝||x||）


これでいいのだろうか？