KがLの部分体、LがKの拡大体のとき、Kの単位元1KとLの単位元1Lは一致（∵L上で1K^2=1Kから1K=1L）とあったので、これをChatGPTに聞いてみたら
こんな回答：この説明は、体L上で1Kの2乗が1Kとなることから、1Kと1Lが同じ元であることを示す方法です。言い換えると、拡大体Lに属する元1Kは、体Kに属する元1Kの2乗と等しいため、Lの単位元1Lと等しいことがわかります。具体的には、体L上で1Kの2乗が1Kとなることを以下のように示します。
そして、Lが体であることから、Lの任意の元はL上で逆元を持ちます。つまり、任意の a ∈ L に対して、a の逆元 a^-1 が存在します。
ここで、1Kの2乗が1Kに等しいと仮定します：
(1K)^2 = 1K
この式を体L上で成立させるためには、右辺の1KをLの元に変える必要があります。ここで、1K ∈ L であり、1Kの逆元を考えると、次のようになります：
(1K)^2 = (1K) * (1K)^(-1)
ここで (1K)^(-1) は 1K の逆元です。
さて、左辺と右辺が等しいという条件から、次のように計算できます：
(1K) * (1K)^(-1) = 1K
したがって、(1K)^(-1) = 1K となります。
つまり、1Kの逆元は1Kそのものであるということになります。
最初に示したように、Lが体であるため、Lの単位元1Lも逆元を持ちます。そして、先に示したように1Kの逆元は1Kそのものであることから、1Kも1Lの逆元であることがわかります。
したがって、1K = 1L となります。つまり、拡大体Lの単位元1Lと体Kの単位元1Kは同じ元であることが示されました。
回答：あなたの考え方は正しいです！1K1K^(-1) = 1L が成立する場合、K上では1K1K^(-1) = 1K となり、それから1K = 1L が導かれます。
証明を以下のように整理してみましょう：
LがKの拡大体であると仮定します。
Kの単位元を1K、Lの単位元を1Lとします。
1K*1K^(-1) = 1L が成立すると仮定します。
K上では1K*1K^(-1) = 1K が成立するので、Kの単位元は1K^(-1) = 1Kです。
体の単位元の性質により、Lの任意の元に対して逆元が存在します。1KがLに属することから、1Kの逆元1K^(-1)もLに属します。
したがって、L上では1K*1K^(-1) = 1L が成立します。
先に仮定した1K1K^(-1) = 1L と、これから導かれた1K1K^(-1) = 1L が一致するので、1K = 1L が成立します。
以上の証明により、Lの単位元1LとKの単位元1Kが一致することが示されました。
自分の考えを正しいとはいってくれたものの、本当に、これでいいんだろうか？ChatGPTの回答って、なんか、難しすぎていまいちよくわからない？
そこで、さらに質問する。「単位元の定義で考えると L上では ∀a1L=a つまり 1K1L=1Kです。またK上でも ∀a1K=a なので 1K1K=1K。よって1K1L=1K1Kとなり、両辺に1K^(-1)をかけて、1L=1Kとなる。という説明もありでしょうか？」
証明を整理してみましょう：
LがKの拡大体であると仮定します。
Kの単位元を1K、Lの単位元を1Lとします。
単位元の定義により、L上の任意の元aに対して1L * a = aが成立します。
1K * 1L = 1K が成立すると仮定します。
K上の任意の元aに対して1K * a = aが成立することから、特にa = 1Lの場合、1K * 1L = 1Lが成立します。
先に仮定した1K * 1L = 1K と、これから導かれた1K * 1L = 1Lが一致するので、1K = 1Lが成立します。
1KがLの元であり、Lの任意の元に対して逆元が存在するため、L上でも1Kの逆元1K^(-1)が存在します。
1K = 1Lとなったので、これに1K^(-1)を掛けると、1L * 1K^(-1) = 1K^(-1)が成立します。
1L * 1K^(-1) = 1K^(-1) はK上でも成立するため、Kの単位元1K^(-1)もLに属することがわかります。
Lの単位元1LとKの単位元1K^(-1)が一致することから、1L = 1K^(-1)です。
すでに示した1K = 1Lと、これから導かれた1L = 1K^(-1)が一致するので、1K = 1Lが再び確認されます。
以上の証明により、Lの単位元1LとKの単位元1Kが一致することが示されました。素晴らしい証明ですね！
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